Investigación de Operaciones Aplicada al Transporte. 

lunes, 7 de noviembre de 2011 - Publicado por Diana Marcela Polo en 18:50

A través de los tiempos el ser humano se ha preocupado por tomar siempre las mejores decisiones. Actualmente vivimos en un mundo que se encuentra en constante cambio, por ello es de vital importancia, independiente de cualquiera sea el objetivo, la correcta toma de decisiones. Una de las herramientas que ha venido evolucionando a través del tiempo para la toma de decisiones, es la investigación de operaciones. Con ella podemos dar en una situación o problema un veredicto, mediante los resultados obtenidos a través de una serie de planteamientos del escenario a estudiar. Cabe resaltar, dicha herramienta solo nos proporciona una idea de la solución óptima, pero en realidad quien tiene la última palabra somos nosotros.
A partir del proceso económico, tecnológico, social y cultural de gran escala llamado globalización, las empresas se han preocupado por ser más lucrativas y competitivas en el mercado local y global, de ahí la importancia de la correcta toma de decisiones.

En este caso hablaremos acerca de uno de los problemas más comunes que tienen las empresas en la actualidad, éste es el transporte. La principal dificultad de este modelo radica en el tamaño de la situación a considerar. Si cualquiera de los parámetros que se consideran alcanza una dimensión excesiva en relación con los demás, entonces la resolución del modelo puede complicarse, e incluso hacerse inviable. No obstante, para empresas de tamaño pequeño y mediano, el modelo de redes de distribución es aceptable resolverlo mediante programación lineal. (Hillier y Liebermann 2003)

El modelo de programación lineal permite dar solución a multitudes de problemas operacionales relacionados con el transporte, (Faulin 2003a) (Faulin 2003b) entre los que cabe destacar:

• Elección del tamaño de la flota de vehículos a disponer.

• Elección de las características de los vehículos necesarios para el transporte.

• Diseño de rutas para toda la flota de camiones o vehículos.

• Diseño de las ventanas de tiempo en las que debe repartirse la mercancía.

• la cantidad de mercancía que debe ser enviada.

• La cantidad de vehículos necesarios para la organización.


Algunas restricciones a las cuales está sujeta este modelo son:

• La limitación del tamaño de las rutas (distancia que se puede recorrer) de los vehículos.

• El número de nodos en las rutas.

• El número de vehículos que deben de haber.

• La capacidad que poseen los vehículos.

• La oferta y la demanda que existan de los productos.

• El volumen que poseen los productos.

Sin embargo, cada problema necesita de un estudio detallado, con el objetivo de cuantificar su estructura de costes. Para la resolución de este tipo de problemas es recomendable usar métodos heurísticos.










Este modelo está sujeto a las siguientes restricciones:

Otra manera de expresar las restricciones seria:


Wed-Grafia:

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Investigación de Operaciones Aplicada a los Hospitales 

domingo, 6 de noviembre de 2011 - Publicado por Diana Marcela Polo en 10:26

Últimamente se ha venido exponiendo y aplicando en las organizaciones, las Cadenas de Markov las cuales son ciertos modelos estocásticos utilizadas comúnmente en el campo de la investigación de operaciones  que nos permiten  analizar problemas de corto y largo plazo a los que se les quiere saber su comportamiento futuro, con la condición de que solamente el estado anterior a éste y de ningún otro más es el que importa.
Entre las aplicaciones de procesos markovianos en el ámbito de la salud encontramos los siguientes casos:

ü -Permite medir el efecto económico que provoca el uso de una determinada droga en la permanencia de un paciente con cierto síndrome en una unidad de cuidado intensivo.

ü  -Proporciona estudios predictivos y comparativos (sexo y edades).

ü  -Posibilita tomar decisiones óptimas en la admisión de pacientes en una unidad específica.

ü  -Nos permite realizar descripciones de las evoluciones del paciente.

En  el caso que mostraremos a continuación, se predijo la duración promedio de permanencia de un paciente en la UCI del hospital Dr. Luis Calvo Mackenna y su evolución (ya sea positiva o negativa) a través de los diferentes niveles de gravedad (estable, crítico, emergencia, etc) que se presentan ocasionalmente. A continuación describiremos algunos detalles de la aplicación de las cadenas de Markov  cuyo conocimiento se espera contribuya posteriormente a la gestión de dicha unidad de salud y los resultados alcanzados.

MÉTODOS

Una cadena de Markov corresponde a una clase específica de proceso estocástico en el ámbito de modelos probabilísticos.



Un proceso estocástico corresponde a la secuencia  Que representa el nivel de gravedad a través del tiempo.
A medida que transcurre el tiempo, los cambios de estado tienen lugar en términos probabilísticos y son representados a través de las denominadas probabilidades de transición entre estados, que en el caso de las transiciones en una etapa corresponde a la probabilidad de pasar de un estado a otro desde una etapa de tiempo t a la siguiente t+1.



Para definir los estados de la cadena se empleara in determinado índice o score, asociado a un nivel de riesgo y gravedad de un paciente de la UCIC. Para determinar este score se toman en cuenta 6 factores:




Nota: el rango no es el mismo para cada factor, pues permite establecer diferencias relativas entre los distintos aspectos considerados.
La importancia relativa entre los distintos factores se consigue definiendo un score máximo que cambia con la importancia del factor considerado, el score máximo para la edad es 8, para una cirugía previa es 8, para la condición inicial es 12, para las complicaciones post-operatorias 16, para el diagnóstico 24 y para el tipo de intervención quirúrgica 36.
  



A partir  de la suma de los scores para cada  aspecto particular, se obtiene el score de un paciente para cada etapa de tiempo t en que pertenece el paciente en la UCIC. Este score determina finalmente la clasificación de la gravedad de un paciente, etapa por etapa, en cualquiera de los siguientes estados: estado A (bajo riesgo, score ≤ 25), estado B (riesgo medio, 26 ≤ score ≤ 41), estado C (riesgo alto, 42 ≤ score ≤ 57), y estado D (riesgo grave, score ≥ 58). Adicionalmente, a los estados anteriores se agrega un estado E, para indicar que un paciente ya abandonó la UCIC en alguna etapa de tiempo.


Determinada la suma de los  scores para cada aspecto en particular, se obtiene el  score de un paciente para cada etapa de tiempo t en que permanece en la UCIC (Unidad de Cuidados Intensivos Cardiología del Hospital Dr. Luis Calvo Mackenna). El score determina a que estado tiene los siguientes rangos:
Rango
Riesgo del paciente
Estado A
0
25
Bajo
Estado B
26
41
Medio
Estado C
42
57
Alto
Estado D
58
104
Grave

Adicionalmente, a los estados anteriores se agrega un Estado  E, para indicar que un paciente ya abandonó la UCIC en alguna etapa de tiempo.
Dado a datos históricos se puede determinar el comportamiento de un paciente a través del tiempo desde su ingreso a la UCIC hasta que este sale o abandona dicha unidad.
Una vez definida la base de datos, se pretende determinar las posibles secuencias de todos los ingresos a la UCIC, de este procedimiento calculamos la probabilidades de tansicion Pij (en una etapa) dado i=A,B,C,D,E y j= A,B,C,D,E



Las probabilidades pij son obtenidas a partir de calcular el cociente entre la cantidad total de transiciones desde el  estado i al  estado j y el total de dichas transiciones que simplemente se inician en el estado i (en otras palabras lo que se está calculando es la frecuencia relativa de las transiciones de los estados partiendo del estado i),  considerando todas aquellas transiciones (en una etapa) que tengan lugar en cualquier etapa del conjunto de secuencias (solo se podrá tener en cuenta las transiciones que estén definidas para los estados). Adicionalmente, es de vital importancia definir las probabilidades de transición para el estado E debido a que cuando el paciente llega a este estado sale del sistema. Definimos las siguientes probabilidades de transición para el estado E:
Estas probabilidades de transición son debidas a que en estado E es un estado absorbente (no se puede salir de él), ya que este indica la salida de un paciente de la UCIC por lo cual no puede llegar a estar en los riesgos definidos por los estado A, B, C, D.

Ya definidas las probabilidades de transición, se podrá observar el comportamiento que tendrá el paciente al ingresar a la UCIC en uno cualquiera de los estados considerados por medio de la aplicación  de la ecuación de chapman-kolmogorov (p(n) = p(n-1) *p) a la matriz de transición generada por las probabilidades de transición de los estados.

Resultados
En el estudio realizado por la UCIC se consideraron una muestra de 64 ingresos diferentes, cuyos datos fueron registrados por un periodo de 14 meses, es los cuales las estadías de los pacientes variaron entre 1 y 32 días de los cuales se obtuvo la información requerida para el modelamiento de las cadenas de Markov. Para simplificar los cálculos realizados, cada etapa de la Cadena de Markov corresponde a un periodo de dos días y los datos considerados abarcan pacientes que estuvieron entre una y 16 etapas. Así entonces, para cada uno de los 64 ingresos se calculó el  score de cada paciente en cada etapa de su permanencia, lo que determinó, a su vez, la secuencia de estados en el sistema. De las 64 secuencias se obtuvo la siguiente matriz de probabilidades de transición (en una etapa), cuyos elementos Pij corresponden a la probabilidad de pasar de un estado i a un estado j al cabo de dos días:Las probabilidades pij son obtenidas a partir de calcular el cociente entre la cantidad total de transiciones desde el  estado i al  estado j y el total de dichas transiciones que simplemente se inician en el estado i (en otras palabras lo que se está calculando es la frecuencia relativa de las transiciones de los estados partiendo del estado i),  considerando todas aquellas transiciones (en una etapa) que tengan lugar en cualquier etapa del conjunto de secuencias (solo se podrá tener en cuenta las transiciones que estén definidas para los estados). Adicionalmente, es de vital importancia definir las probabilidades de transición para el estado E debido a que cuando el paciente llega a este estado sale del sistema. Definimos las siguientes probabilidades de transición para el estado E:

Estas probabilidades de transición son debidas a que en estado E es un estado absorbente (no se puede salir de él), ya que este indica la salida de un paciente de la UCIC por lo cual no puede llegar a estar en los riesgos definidos por los estado A, B, C, D.

Ya definidas las probabilidades de transición, se podrá observar el comportamiento que tendrá el paciente al ingresar a la UCIC en uno cualquiera de los estados considerados por medio de la aplicación  de la ecuación de chapman-kolmogorov (p(n) = p(n-1) *p) a la matriz de transición generada por las probabilidades de transición de los estados.


Observación: Esta matriz de transición posee dos clases de estados, una clase de estados transigentes, formada por los estados A, B, C y D, y una clase de estados recurrentes, dada por el estado absorbente E. Además, la cadena posee una distribución estacionaria (cuando las probabilidades de largo plazo existen y son independiente de la distribución inicial (f0)) que indica que con probabilidad 1 el paciente hará abandono de la UCIC en el largo plazo.
http://www.investigaciondeoperaciones.net/distribucion_estacionaria_markov.html
A partir de los datos de uno de los grupos se hicieron los cálculos anteriores para obtener la estadía promedio estimada usando valores de n=1,2,…,16 etapas.  Esto resultan de calcular primeramente el número de veces que se visitó un determinado estado j en las n etapas de toda la muestra de este grupo (considerando las secuencias truncadas de hasta n etapas) dividido por el tamaño de la muestra, cuya posterior suma tomando todos los valores posibles de j=A, B, C y D arroja la estadía observada.

Bibliografia:
http://www.scielo.cl/pdf/ingeniare/v14n2/art09.pdf

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BITÁCORA: TEORÍA DE LINEAS DE ESPERA O COLA 

domingo, 23 de octubre de 2011 - Publicado por Diana Marcela Polo en 23:56

Cada clase de Investigación de Operaciones se distingue por abarcar temáticas con numerables aplicaciones. En la semana del 17 al 21 de Octubre analizamos las características de una cola o linea de espera y comprobamos las diferentes situaciones en las que estas pueden ser estudiadas.


Cola o línea de espera:
  • Número de clientes que esperan ser atendidos
  • Turnos para la prestación de un servicio o ejecución de un trabajo
Una cola o linea de espera lleva un respectivo orden y admite un numero máximo permisible de clientes. Las colas pueden ser finitas o  infinitas.

La percepción del servicio de una cola puede explicarse a través del siguiente diagrama:



Donde el significado de las variables asociadas es el siguiente:

T= Tiempo  de un elemento en el sistema.
S= Tiempo en cola.

La percepción del servicio empieza desde el momento en que los clientes que requieren de un servicio determinado se generan a través del tiempo en una fuente de entrada (Entradas), estos clientes entran al sistema de colas y se unen a una cola. En determinado momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el servicio. Una vez se lleva a cabo el servicio requerido por el cliente, este sale del sistema de colas.

Generalmente los modelos de colas, hacen la suposición de todos los tiempos de legadas y todos los tiempos de servicio so independientes e idénticamente distribuidos, por convención utilizan la notación de Kendall, así:

  


Donde:
M= Distribución exponencial (markoviana)   
D= Distribución degnerada (tiempos constantes
Ek= Distribución Erlang (parámetro de forma= k)
G=  Distribución general (Permite cualquier distribución arbitraria;  aquella que mejor se ajuste a los datos asociados).



                     
Se requiere cierta notación para describir los resultados del estado estable. Cuando un sistema de colas acaba de iniciar su operación, el estado del sistema, es decir el número de clientes en el sistema, se encuentra bastante afectado por el estado inicial y del tiempo que ha pasado desde el inicio. Se dice entonces que el sistema se encuentra en condición transitoria. Después que ha pasado un tiempo suficiente, el estado del sistema se vuelve, en esencia  independiente el estado inicial y del tiempo transcurrido, así se puede decir que el sistema ha alcanzado su condición de estado estable.    

La notación siguiente supone que el sistema se encuentra en la condición de estado estable:

L= Número de clientes en el sistema.
Lq = Número de clientes esperando en la cola.
W = Tiempo medio en el sistema (tiempo en el ciclo)
Wq = Tiempo medio en la cola.

                                      


Tipos de colas:


Colas Markovianas: Se basan en los procesos de muerte y nacimiento.



Muerte = Cliente sale del sistemas  -->  n = n -1 

Nacimiento = Cliente que entra al sistema .--> n = n + 1



Supuestos:





Una cola Markoviana es una cadena de Markov en tiempo continuo, donde el número de estados está representado por el número de clientes en el sistema en el instante t.
    





En el caso del estado “0”, hay “0” clientes, del uno, solo uno, y así sucesivamente.



Balance = Lo que entra debe ser igual a lo que sale.



                                                    Estado (0)





                                                        Entonces: 













El tamaño de una cola esta dado por:







Esta clase fue desarrollada a partir del análisis del articulo: "Teoría de colas de espera: Modelo integral de aplicación para la toma de decisiones", a continuación presentamos un resumen que resalta lo mas importante del mismo:


La teoría de colas es un método en la investigación de operaciones que se basa en el estudio de las líneas de espera de diferentes tipos. Para aplicarla, tienen en cuenta los factores subjetivos y objetivos en los problemas, además de las evaluaciones  dadas para su solución.

Hay tres formas de resolverlos:
  • Análisis subjetivo: Cuando se toman las decisiones ‘al ojo’, sin usar ningún tipo de cálculo. 
  • Método matemático: Mediante modelos descriptivos y estadísticos (puede ser para casos infinitos o finitos).
  • Técnica de simulación: Se utiliza cuando no se puede hallar una solución por medio del 2do.

Para el caso de los factores objetivos, se utilizan los modelos matemáticos, los cuales analizan  los 4 tipos de colas que se pueden dar:



1 cola: 1 servidor (consulta con especialista).

1 cola: Varios servidores en paralelo (cajas en un banco).

Varias colas: Múltiples servidores (peaje).

Servidores en serie antes de salir del sistema (fila que le toca a uno hacer en Aduana para ir de Colombia a EE.UU.)
Al ya saber qué tipo es, se tienen en cuenta ciertas consideraciones como de dónde son las personas en la cola, ingreso en el sistema (individual o grupal), disciplina de la cola, entre otros. Por último, ven las diferentes restricciones (llegadas aleatorias o individuales, espacio, atención primero en llegar primero en salir, y muchas más).

No obstante, hay veces que los aspectos subjetivos valen más que los objetivos, entre ellos vemos:

  • Percepción del servicio: Difiere entre el tiempo real (cuánto ha pasado en la cola en realidad) y el  subjetivo (cómo lo siente el cliente) que dependerá  de aspectos como la personalidad del cliente, distractores mientras espera, comodidad ambiental y percepción de ineficiencia en el servicio. Demostrando nuevamente que “el tiempo es relativo”.
  • Aspectos sociales y culturales: Interpretación de cada uno en el momento. Ej: Para algunos “el tiempo es oro”, mientras otros lo lo ven distinto.
  • Eficiencia y satisfacción: Hay que saber cuán satisfecho está el cliente con el servicio y no solo pensar en lo que la eficiencia (“hacer lo mismo con menos”) numérica me indica.

La conjunción de todo lo visto, según el caso que se presente, busca como resultado minimizar los costos, aunque nunca se llegue a la máxima solución óptima; poniendo el caso de los supermercados, si tienen todas las cajas abiertas al público a las 7 am, daría un sobrecosto de personal al haber horas ociosas, demostrando así una mala planeación. Solo se podrá llegar a la probabilidad más cercana de obtener una calidad total si se tiene un equilibrio entre aspectos subjetivos positivos del cliente, servidores y  datos satisfactorios tomados de factores objetivos.  




Vídeo Clase de Investigación de Operaciones 2 ;19-OCT-2011


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Modelos para Determinar Tamaños de Lote 

miércoles, 19 de octubre de 2011 - Publicado por Diana Marcela Polo en 23:08
Consiste en el análisis de varios productos ubicados en lotes de diferentes                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                tamaños (capacidad) con diversos niveles, además de esto se comenta  acerca de la programación dependiente de la secuencia en las configuraciones. Comúnmente es usado un modelo de programación mixto el cual no es práctico para encontrar pequeñas instancias del problema, MIP está basado en la heurística, la cual por medio de 2 límites se comprueba su exactitud para la obtención de una solución óptima. Cabe resaltar que existe una proporción entre la calidad del programa y el tiempo de cálculo de la heurística.


Los Problemas de  tamaños de lotes y  la programación han sido un área de investigación activa a partir del estudio seminal de Wagner y Whithin (1958) . Desde entonces ha habido una cantidad considerable de investigaciones con el fin de incorporar otras características importantes. 
Las características mas notables en los modelos de tamaños de lotes y su programación  son la aplicación de un horizonte de planificación, una dependencia temporal que tienen los parámetros del modelo, el número de productos, las etapas de producción, la estructura.productiva y la capacidad de las restricciones.


Los modelos de tamaño de lotes y su programación están dividíos en 2 tipos: cubeta pequeña y grandes problemas de la cuchara. Los problemas de la cubeta pequeña rompen el horizonte de planificación en periodos de tiempo pequeños, en consecuencia si una instalación se lleva a cabo, el intervalo de tiempo solo debe ser dedicado a este. En otras palabras, las configuraciones que se realicen y los ciclos de producción forman parte de un número entero de intervalos de tiempo, este modelo es aplicable a los problema de programación (MLDLSP) en el cual el  tamaño de lote es proporcional de niveles múltiples y la programación de problemas (MLPLSP) Ambos modelos permiten tamaños de lotes simultáneos y la programación, pero limitar el número de productos a ser fabricados en un período. 

Este estudio trata de los modelos deterministicos dinámicos con un horizonte de planeación finito, en lo referente a la producción de diferentes productos en serie, máquinas dispuestas con capacidad. Cuando el tamaño de los lotes se considera eficiente se dice que el problema es difícil, por lo tanto se requiere que su modelado sea por medio de  programación entera mixta (MIP). 
Los tamaños de lotes  simultáneos y la programación dependen de la secuencia de los costos de instalación y los tiempos de preparación que se producen durante la producción.Por lo tanto, como el TSP (Traveling Salesman Problem), el CLSP (…) con dependientes secuencia configuraciones también pertenece a un conjunto de problemas que son llamados NP-hard. Esto significa que es muy difícil de resolver de manera óptima los casos gran parte del problema. De hecho, el tiempo de solución aumenta exponencialmente, ya sea el número de variables y aumentar las restricciones. La introducción de multi-nivel de producción hace que el problema aún más complicado. Por lo tanto, es necesario encontrar soluciones razonables heurístico para casos medianos y grandes. También es importante desarrollar una baja computable ligado con el fin de probar la exactitud de la heurística. 



Ambos modelos tiene la ventaja de fijar los tamaños de lotes y horarios simultáneamente, pero con la desventaja que no pueden hacer tantos productos en un periodo de tiempo, lo que el modelo de multinivel para establecer el tamaño de lote  (MLCLSP: Multilevel Capacitated Lotsizing Problem)  sí tiene. Por ello se creó un problema de programación integral mixta (MIP por sus siglas en inglés) que combina lo mejor de ‘ambos mundos’ del que se hablará más adelante.
Los modelos CLSP y TSP son muy difíciles de resolver en casos largos del problema de una manera óptima. Por ello, se llegó a la conclusión que para la resolución de éstos, podíamos obtener una respuesta mediante soluciones heurísticas, lo que es más fácil por medio de un límite inferior calculable que midiera la exactitud  de la heurística.
Como sabemos hay ciertas dudas sobre algunos temas que explicaremos en el siguiente orden:
  • Cotas inferiores.
  •   Heurísticas.
  •   Experimento numéricos.



Desarrollo de la Heurística
Rolling-horizon heuristics, más conocido como  heurística horizonte rodante, suele utilizarse en lotsizing (modelo de tamaño del lote dinámico) el cual es una generalización de la orden de la cantidad económica que el modelo tiene en cuenta, para que la demanda del producto varíe con el tiempo. y en los problemas de programación. Donde las demandas son gradualmente reveladas durante el horizonte de planificación al igual que los tipos de piezas que se asignarán a las máquinas de manera continua a medida que llegan nuevas órdenes. Aquí el enfoque de rodadura toma un papel importante ya que  se guían mediante parámetros perfectamente conocidos.
El enfoque adoptado inicialmente descompone el modelo en una sucesión  de pequeños precios mínimos. Todos con un número asequible de variables binarias. Cada enfoque rodadura horizonte descompone la planificación
horizonte en tres secciones  para una iteración dada k: 
1.)  La primera iteración se compone de los (k - 1) primeros períodos. Aquí las decisiones han sido parcial por las anteriores iteraciones de acuerdo a una estrategia de congelación ya seleccionada.
2.)  La segunda incluye el K – esimo periodo.
3.)  Y la tercera y última incluye los últimos periodos desde el periodo k +1 para x periodo. El proceso se detiene cuando ya no hay sección final hay que tener cuidado  porque la ultima iteración define las variables de decisión sobre el horizonte.








Conclusión:
En conclusión, todas las heurísticas tienen un pro y un contra dependiendo del tipo de problema que se quiera resolver. Demostrando así que aún no hay una solución óptima para cualquier problema (pequeño, mediano o grande), por medio de una heurística en general. 

Referencias:
- http://translate.google.com/translatehl=es&langpair=en|es&rurl=
translate.google.com.co&u=http://scialert.net/fulltext/%3Fdoi%3Djas.2009.296.303#67520_ja <
-http://knol.google.com/k/jairo-rafael-coronado-h/modelos-para-determinar-tama%C3%B1os-de-lote/fsr3rs45g58n/6#

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